Question

【题目】（初步探究）

（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由．

（解决问题）

（2）如图2，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：仅用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．

（拓展应用）

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），点B（4，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是　 　．

（4）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）△AED是等腰直角三角形；（2）详见解析；（3）（1，2）、（3，3）、（，）；（4）

【解析】

（1）证明△ABE≌△ECD （SAS），即可求解；

（2）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，连接EF，EP，FP，点E、F即为所求；

（3）分∠CAB=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°，三种情况求解即可；

（4）求出B（m，1+m），则：BO+BA= ，BO+BA的值相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，即可求解．

解：（1）△AED是等腰直角三角形，

证明：∵在△ABE和△ECD中，

,

∴△ABE≌△ECD （SAS）

∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，

∵在Rt△EDC中，∠C＝90°，

∴∠EDC+∠DEC＝90°．

∴∠AEB+∠DEC＝90°．

∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，

∴∠AED＝90°．

∴△AED是等腰直角三角形；

（2）如图，以点D为圆心CP长为半径作弧交AD于点F，以点C为圆心，DP长为半径作弧交BE于点E，连接EF，EP，FP．

∴点E、F即为所求；

（3）如图，当∠CAB＝90°，CA＝AB时，过点C作CF⊥AO于点F，过点B作BE⊥AO于点E，

∵点A（2，0），点B（4，1），

∴BE＝1，OA＝2，OE＝4，∴AE＝2，

∵∠CAB＝90°，BE⊥AO，

∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠CAF＝∠ABE，且AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°，

∴△ACF≌△BAE（AAS）

∴CF＝AE＝2，AF＝BE＝1，

∴OF＝OA﹣AF＝1，

∴点C坐标为（1，2）

如图，当∠ABC＝90°，AB＝BC时，过点B作BE⊥OA，过点C作CF⊥BE

∵∠ABC＝90°，BE⊥OA，

∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，且BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90°

∴△BCF≌△ABE（AAS）

∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝2，∴EF＝3

∴点C坐标为（3，3）

如图，当∠ACB＝90°，CA＝BC时，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BF⊥CD于点F，

∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠BCF＝∠CAD，且AC＝BC，∠CDA＝∠CFB，

∴△ACD≌△CBF（AAS）

∴CF＝AD，BF＝CD＝DE，

∵AD+DE＝AE＝2

∴2＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1

∴DA＝，

∴CD＝，OD＝，

∴点C坐标（，）

综上所述：点C坐标为：（1，2）、（3，3）、（，）

故答案为：（1，2）、（3，3）、（，）

（4）如图作BH⊥OH于H．

设点C的坐标为（0，m），

由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，

则点B（m，1+m），

则：BO+BA＝，

BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，

相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，

作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），

易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，

M′N＝，

故：BO+BA的最小值为．