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    （2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=
    2
    3
    x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=
    5
    2
    上．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
    （3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
    （4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据抛物线y=
    2
    3
    x2+bx+c    经过点B（0，4），以及顶点在直线x=
    5
    2
    上，得出b，c即可；
    （2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
    （3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=
    5
    2
    时，求出y即可；
    （4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出
    OM
    OB
    =
    ON
    OD
    ，得到ON=
    1
    2
    t    ，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．
    解答：解：（1）∵抛物线y=
    2
    3
    x2+bx+c    经过点B（0，4）
    ∴c=4，
    ∵顶点在直线x=
    5
    2
    上，
    ∴-
    b
    2a
    =-
    b
    2×
    2
    3
    =
    5
    2
    ，
    ∴b=-
    10
    3
    ；
    ∴所求函数关系式为y=
    2
    3
    x2-
    10
    3
    x+4    ；

    （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
    ∴AB=
    		OA2+OB2
    =5    ，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴BC=CD=DA=AB=5，
    ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
    当x=5时，y=
    2
    3
    ×52-
    10
    3
    ×5+ 4=4    ，
    当x=2时，y=
    2
    3
    ×22-
    10
    3
    ×2+ 4=0    ，
    ∴点C和点D都在所求抛物线上；

    （3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
    设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
    则
    5k+b=4
    2k+b=0
    ，
    解得：
    k=
    4
    3
    b=-
    8
    3
    ，
    ∴y=
    4
    3
    x-
    8
    3
    ，
    当x=
    5
    2
    时，y=
    4
    3
    ×
    5
    2
    -
    8
    3
     =
    2
    3
    ，
    ∴P（
    5
    2
    ，
    2
    3
    ），

    （4）∵MN∥BD，
    ∴△OMN∽△OBD，
    ∴
    OM
    OB
    =
    ON
    OD
    即
    t
    4
    =
    ON
    2
    得ON=
    1
    2
    t    ，
    设对称轴交x于点F，
    则S梯形PFOM=
    1
    2
    （PF+OM）•OF=
    1
    2
    （
    2
    3
    +t）×
    5
    2
    =
    5
    4
    t+
    5
    6
    ，
    ∵S△MON=
    1
    2
    OM•ON=
    1
    2
    t•
    1
    2
    t=
    1
    4
    t2    ，
    S△PNF=
    1
    2
    ×NF•PF=
    1
    2
    ×（
    5
    2
    -
    1
    2
    t）×
    2
    3
    =-
    1
    6
    t+
    5
    6
    ，
    S=
    5
    4
    t+
    5
    6
    -
    1
    4
    t2 -    （-
    1
    6
    t+
    5
    6
    ），
    =-
    1
    4
    t2+
    17
    12
    t    （0＜t＜4），
    a=-
    1
    4
    ＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．
    由S△PMN=-
    1
    4
    t2+
    17
    12
    t=-
    1
    4
    （t-
    17
    6
    ）2+
    289
    144
    ，
    ∴当t=
    17
    6
    时，S取最大值是
    289
    144
    ，
    此时，点M的坐标为（0，
    17
    6
    ）．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．
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    8＜AB≤10
    8＜AB≤10
    ．

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    		3
    x
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    2
    		3
    2
    		3
    ．

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