Question

已知直角梯形ABCD的腰AB在x轴的正半轴上，CD在第一象限，AD∥BC，AD⊥x轴，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）如图1，抛物线经过C、D两点，且与EF相交于点G，如果点A、B的横坐标分别为1、3，求线段FG的长；
（2）如图2，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过C、D两点，且与EF相交于点G，如果点A、B的横坐标分别为n、n+2，求线段FG的长．

Answer 1

解：∵EF是直角梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，EF=．
∵AD⊥x轴，
∴EF⊥x轴，BC⊥x轴．
（1）∵A、B的横坐标分别为1、3，
∴点E的横坐标为2．
∴点D、G、E的横坐标分别为1、2、3．
∵抛物线经过点D、G、C，
∴AD=，EG=3，BC=．
∴EF==．
∴FG=EF-EG=．

（2）∵A、B的横坐标分别为n、n+2，
∴点E的横坐标为n+1．
∴点D、G、E的横坐标分别为n、n+1、n+2．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点D、G、C，
∴AD=an²+bn+c，EG=a（n+1）²+b（n+1）+c，
BC=a（n+2）²+b（n+2）+c
∴EF==a（n²+2n+2）+b（n+1）+c．
∴FG=EF-EG=a（n²+2n+2）+b（n+1）+c-a（n+1）²-b（n+1）-c=a．
分析：（1）由EF是直角梯形ABCD的中位线可以得到EF∥AD∥BC，EF=，又A、B的横坐标分别为1、3，根据中点的性质可以得到点E的横坐标为2，所以点D、G、E的横坐标分别为1、2、3，而抛物线经过点D、G、C，由此得到AD=，EG=3，BC=，然后就可以求出EF的长度，最后可以求出FG；
（2）由A、B的横坐标分别为n、n+2，可以得到点E的横坐标为n+1．然后把点D、G、E的横坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c中即可得到AD=an²+bn+c，EG=a（n+1）²+b（n+1）+c，BC=a（n+2）²+b（n+2）+c，接着利用中位线的性质得到EF的长度，最后可以求出FG．
点评：此题是二次函数的综合题目，分别考查了二次函数的图象和性质、梯形及梯形中位线的性质，综合性比较强，平时要加强训练，也要求学生的计算能力比较好才能很好解决这类问题．