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    在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．
    小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
    （1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
    （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
    （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）
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    分析：（1）设AC与BD相交于点O，根据四边形ABCD是菱形，得出AC=2OA，BD=2OB，利用勾股定理，得OA2+OB2=AB2，再利用AB=BC，即可求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
    （2）作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2
    （3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD，求证四边形ABEC是平行四边形，由（2）的结论，得AE2+BC2=2（AB2+AC2），解得AD2=
    1
    4
    (2b2+2c2-a2)    ．
    解答：解：（1）如图2，设AC与BD相交于点O，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
    在Rt△AOB中，由勾股定理，得
    OA2+OB2=AB2，
    ∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4（OA2+OB2）=4AB2，
    又∵AB=BC，
    ∴AC2+BD2=2（AB2+AB2）=2（AB2+BC2）．

    （2）小亮的猜想成立．
    证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
    则∠AEB=∠DFC=90°．
    ∵四边形ABCD是平行四边形，精英家教网
    ∴AB=DC，AB∥CD，
    ∴∠ABE=∠DCF，
    ∴△ABE≌△DCF，
    ∴AE=DF，BE=CF．
    在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
    AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
    BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
    ∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
    又AE2+BE2=AB2，
    故AC2+BD2=2（AB2+BC2）．

    （3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD．精英家教网
    ∵BD=CD，
    ∴四边形ABEC是平行四边形．
    由（2）的结论，得
    AE2+BC2=2（AB2+AC2），
    即（2AD）2+a2=2（b2+c2），
    解得AD2=
    1
    4
    (2b2+2c2-a2)    ，
    故AD=
    1
    2
    		2b2+2c2-a2
    ．
    点评：此题主要考查学生对勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质和菱形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=6cm，已知a∥b，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．
    问题1：当A1、D两点重合时，则AC=
     
    cm；
    问题2：当A1、D两点不重合时，连接A1D，可探究发现A1D∥BC，
    下面是小明的思考：
    （1）将△ABC沿BC翻折，点A关于直线BC的对称点为A1，连接AA1交BC所在直线于点M，由轴对称的性质，得AM=A1 M，这一关系在变化过程中保持不变；
    （2）因为四边形ABCD是平行四边形，设对角线的交点是O，易知AO=DO，这一关系在变化过程中也保持不变．
    请你借助于小明的思考，说明AD1∥BC的理由；
    问题3：当A1、D两点不重合时，若直线a、b间的距离为
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    cm，且以点A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
    （1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
    （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
    （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）

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    科目：初中数学 来源：2011年安徽省马鞍山市成功学校中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．
    小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
    （1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
    （2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
    （3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，A、B是直线上的两个定点，点C、D在直线上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=6cm，已知//，连接AC、BD、BC，把沿BC折叠得.

    问题1：当、D两点重合时，则AC=___________cm；

    问题2：当、D两点不重合时，连接，可探究发现，

           下面是小明的思考：

    （1）将沿BC翻折，点A关于直线BC的对称点为，连接交BC所在直线于点M，由轴对称的性质，得，这一关系在变化过程中保持不变.

    （2）因为四边形ABCD是平行四边，设对角线的交点是O，易知，这一关系在变化过程中也保持不变。

    请你借助于小明的思考，说明的理由。

    问题3：当、D两点不重合时，若直线间的距离为cm，且以点为顶点的四边形是矩形，求AC的长。

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