Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4,MC=3.

(1)求直线BM的解析式;

(2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的P点的坐标.

Answer 1

解：(1)∵MO=MD=4,MC=3,

∴M、A、B的坐标分别为(0,4),(-4,0),(3,0)

  设BM的解析式为；

    则,∴BM的解析式为

(2)方法一：

设抛物线的解析式为

则，解得

  ∴

方法二：

设抛物线的解析式为

将M（0，4）的坐标代入得

∴

（3）设抛物线上存在点P,使△PMB构成直角三角形

方法一：分别过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点。

过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H，

∴∠PMB=90⁰，∴∠PMH=∠MBC，

∴△MPH∽△BMC，

∴PH：HM=CM：CB=3：4

  设HM=4(>0),则PH=3

  ∴P点的坐标为(-4,4-3)

将P点的坐标代入得:

4-3=

解得(舍出), ,

∴P点的坐标为()

类似的,如果过B作BM的垂线与抛物线交于点P,同样可求得P的坐标为()

（3）方法二: 抛物线上存在点P,使△PMB构成直角三角形。

过M作MB的垂线与抛物线交于P，设P的坐标为,

由∠PMB=90⁰,∠PMD=∠MBC,

过P作PH⊥DC交于H,则MH= -，PH=4-

∴由得，

∴

∴，=0（舍出）

∴，∴P点的坐标为()

类似的,如果过B作BM的垂线与抛物线交于点P, 设P的坐标为,

同样可求得，

由=，=3（舍出）

这时P的坐标为()。