Question

12．已知当x₁=a、x₂=b、x₃=c时，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+mx对应的函数值分别为y₁、y₂、y₃，正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y₁＜y₂＜y₃，则a、b、c和的最小值为9，实数m的取值范围是m＞-2.5．

Answer 1

分析 根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．

解答 解：∵正整数a、b、c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c，
∴a＞c-b≥1．
∴a＞1．
∴a、b、c的最小值分别为2、3、4．
∴a、b、c和的最小值为9．
故答案是：9；

（2）：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，b最小是3，
∴根据二次函数的增减性和对称性知，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+2mx的对称轴在2，3之间，且偏向2．
∵y₁＜y₂＜y₃，
∴-$\frac{m}{2×\frac{1}{2}}$＜2.5，
解得m＞-2.5．
故答案为：m＞-2.5．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．