Question

已知：如图，?ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）
解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，证△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可．
解答：解：（1）∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
即3t=3-3t，
t=，
∴当t=s时，四边形AQDM是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴=，
∴=，
∴AM=t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y=×AP×MN
=•3t•（1+t）
即y与t之间的函数关系式为y=t²+t（0＜t＜1）．

（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．
此时t²+t=×3×，
整理得：t²+t-1=0，
解得t₁=，t₂=（舍去）
∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．

（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴=，
即=或=，
∴t=或，
∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，
∴当t=s或s时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．