Question

（2000•河南）关于x的方程x²-（5k+1）x+k²-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：把倒数和进行通分整理，等量关系为：倒数和等于4．即+==4．再把两根关系代入即可．
解答：解：根据题意，得
x₁+x₂=5k+1，x₁×x₂=k²-2．
∵+===4．
∴4k²-8=5k+1．
解得k₁=，k₂=-1．
经检验和-1都是方程的根．
当k₁=，k₂=-1，代入方程x²-（5k+1）x+k²-2=0的判别式时，△＞0，
所以存在负数k=-1，满足条件．
点评：解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．