Question

一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由等腰梯形的性质，求得MN⊥BC，EF=（AD+BC），然后过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，即可得四边形ACKD是平行四边形，四边形MNHD是矩形，则可得△BDK是等腰三角形，由三线合一的知识，可得BH=EF，在Rt△BDH中由勾股定理即可求得答案．
解答：已知：如图，AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，且EF²+MN²=8．
求：这个等腰梯形的对角长．
解：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=（AD+BC），MN⊥BC，AC=BD，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∴DK=AC=BD，CK=AD，
∴BH=KH=BK=（BC+CK）=（BC+AD），
∴BH=EF，
∵四边形MNHD是矩形，
∴DH=MN，
∴在Rt△BDH中，BD²=BH²+DH²=EF²+MN²=8，
∴BD=2．
∴这个等腰梯形的对角线长为2．
故答案为：2．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形，直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．