Question

已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BD上取BE=BO，连接AE，若∠BOE=75°，求：
（1）∠OBE的度数．
（2）说明△OAB的等边三角形的理由．
（3）△ABE是什么三角形？为什么？
（4）求∠CAE的度数．

Answer 1

分析：（1）由BE=BO，∠BOE=75°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠OBE的度数；
（2）由四边形ABCD是矩形，即可∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=

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AC，OB=OD=

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BD，可得OA=OB，又由∠ABO=∠ABC-∠OBE=60°，即可判定△OAB的等边三角形；
（3）易证得AB=BE，∠ABE=90°，即可得△ABE是等腰直角三角形；
（4）由△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等边三角形，即可求得∠CAE的度数．

解答：（1）解：∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠BEO=∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=

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2

AC，OB=OD=

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2

BD，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°，
∴△OAB的等边三角形；

（3）△ABE是等腰直角三角形．
证明：∵△OAB的等边三角形，
∴OB=AB，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（4）解：∵△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等边三角形，
∴∠BAE=45°，∠BAO=60°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°．

点评：此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．