Question

【题目】如图（1），在边长为4的正方形中，在AO的延长线上取点B，使OB=2OA，连接BC．

（1）点是线段的中点，连结，求线段的长；

（2）点M在线段BC上，且到OB，OC的距离分别为，，当时， 求，的值；

（3）如图（2），在第（1）、（2）问条件下，延长交直线于点N，动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在延长线上，沿直线向终点M匀速运动，它们同时出发且同时到达终点．当点运动到中点时，点恰好与点重合．

①在运动过程中，设点的运动路程为s，，用含t的代数式表示s．

②过点O作于点，在运动路程中，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，（3）①，②或.

【解析】

（1）先根据勾股定理求得BC的长，再利用直角三角形的性质即可求得结果；

（2）过点M作MG⊥OB，MH⊥OC，则易证△BMG∽△BCO，根据相似三角形的性质并结合已知即可求出m、n的值；

（3）①由题意知：当点运动到中点时，点恰好与点重合，所以当点从中点运动到点O时，点恰好与从点运动到点M，据此列出比例式即可得出s与t的关系式；

②先确定点Q的出发点K的位置，进而可求出，再建立如图1所示的平面直角坐标系，显然在点P的运动过程中，PQ与DE始终不平行；当PQ∥OF时，利用坐标系中两条直线垂直时满足，可求出用含t的参数表示的直线PQ的解析式，再与直线BC联立方程组求出交点Q的坐标，然后利用锐角三角函数的知识求出QN值，即得QK的长，再利用①的结论即得关于t的方程，解方程即可求得t的值；当PQ∥OE时，如图2，利用坐标系中两直线平行，同上面的思路求解即可.

解：（1）∵四边形是正方形，∴OC=AO=4，∠COA=90°，∴∠COB=90°，

∵OB=2OA，∴OB=8，∴，

∵点是线段的中点，∴；

（2）如图（1），过点M作MG⊥OB，MH⊥OC，则MG=m，MH=n=OG，MG∥OC，

∴△BMG∽△BCO，∴，即，

当，即n=6m时，，解得：m=1，∴n=6；

∴，，

（3）①由题意知：当点运动到中点时，点恰好与点重合，所以当点从中点运动到点O时，点恰好与从点运动到点M.

如图（1），∵CH=3，HM=6，∴，

于是有：，∴；

②在BC延长线上取点K，使CK=CM=，∵，∴，由题意可知：点Q的出发点就是点K.

建立如图1所示的平面直角坐标系，

则当PQ∥OF时，PQ⊥DE，

∵D（0，4）、E（8，2），∴直线DE的解析式为：，所以设，将点P（t，0）代入得：，∴，

∵C（4，4）、B（12，0），∴直线BD的解析式为：，

联立方程组：，解得，

∴点Q（，），

过点Q作QR⊥y轴于点R，则，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

当PQ∥OE时，如图2，

∵O（4，0）、E（8，2），∴直线OE的解析式为：，

∴设直线PQ的解析式为：，把P（t，0）代入得：，

∴，

联立方程组：，解得：，∴Q（，），

过点Q作QR⊥y轴于点R，则，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

显然在点P的运动过程中，PQ与DE始终不平行；

综上，当与的一边平行时，或.