Question

（1）计算：2^-1+2007⁰+

1

2 +1

+tan45°；
（2）化简求值：(1+

1

x-1

)•(x2-1)，其中x=

1

3

．
（3）在数学上，对于两个数p和q有三种平均数，即算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中A=

p+q

2

，G=

pq

．而调和平均数中的“调和”二字来自于音乐，毕达哥拉斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度p=10，H=12，q=15满足

1

10

-

1

12

=

1

12

-

1

15

，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p、H、q为一组调和数，而把H称为p和q的调和平均数．
①若p=2，q=6，则A=

 

，G=

 

．
②根据上述关系，用p、q的代数式表示出它们的调和平均数H；并根据你所得到的结论，再写出一组调和数．

Answer 1

分析：（1）根据a⁰=1（a≠0）和负整数指数的意义以及特殊角的三角函数值进行计算；
（2）先同分和因式分解得到原式=x²+x，然后代值计算；
（3）根据题目中的概念易得到A=

2+6

2

=4；G=

2×6

=2

3

；

1

p

-

1

H

=

1

H

-

1

q

，整理得到H=

2pq

p+q

，然后任意取p，q的值，通过计算得到H，这样就可得到一组调和数．

解答：解：（1）原式=

1

2

+1+

2 -1

( 2 -1)( 2 +1)

+1，
=

1

2

+1+

2

-1+1，
=

3

2

+

2

；

（2）原式=

x

x-1

•（x+1）（x-1），
=x（x+1），
=x²+x，
当x=

1

3

时，原式=（

1

3

）²+

1

3

=

4

9

；

（3）①A=

2+6

2

=4；G=

2×6

=2

3

；
故答案为4，2

3

；
②

1

p

-

1

H

=

1

H

-

1

q

，
∴

2

H

=

1

p

+

1

q

，
∴H=

2pq

p+q

，
3、4、9就为一组调和数．

点评：本题考查了分式的化减求值：先把分式各分母和分子因式分解，再进行约分，然后把符合条件的字母的值代入进行计算．也考查了a⁰=1（a≠0）和负整数指数的意义以及特殊角的三角函数值；阅读理解题的解法．