Question

已知：如图，⊙O和⊙O’相交于A、B两点，AC是⊙O’的切线，交⊙O于C点，连接CB并延长交⊙O’于点F，D为⊙O’上一点，且∠DAB=∠C，连接DB交延长交⊙O于点E．
①求证：DA是⊙O的切线；
②求证：AC²：AD²=BC：BD；
③若BF=4，CA=3

5

，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）本题可过A作圆O的直径，然后证这条直径与AD垂直即可．可根据圆周角定理和已知的∠DAB=∠C来求解．
（2）本题的关键是证CF=DE，如图，如果证CF=DE，就必须证明O′Q=OP，就要证出∠OO′Q=∠O′OP，可通过证∠O′JR=∠OKR，即∠ABF=∠ABE来求解，证出CF=DE后，可根据切割线定理得出本题要求的结论．
（3）根据切割线定理和CA，FB的长，即可求出BC的长，也就能得出CF的长，（2）中已证得CF=DE，那么即可求出DE的长．

解答：（1）证明：如图1，
过A作⊙O的直径AG连接BG，则∠G=∠C，∠ABG=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠G．
∵∠G+∠BAG=90°，
∴∠DAB+∠BAG=90°．
即∠DAG=90°．
∴AG⊥AD．
∴DA是圆O的切线．

（2）证明：如图2：过O′作O′M⊥FC于M，作O′H⊥DE于H，
过O作ON⊥FC于N，过O作OL⊥DE于L；过O作OP⊥O′H于P，过O′作O′Q⊥ON于Q；
连接AB，OO′，则OO′⊥AB，OQ∥FC，OP∥DE，
∴∠ABF=∠O′JR，∠ABE=∠RKO．
∵∠ABF=∠BAC+∠C，∠ABE=∠D+∠DAB，
∵∠DAB=∠C，∠BAC=∠D，
∴∠ABF=∠ABE．
∴∠O′JR=∠OKR．
∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR．
∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ．
根据垂径定理易知：O′Q=

1

2

CF，OP=

1

2

DE，
∴CF=DE．
∵DA，AC分别是⊙O和⊙O′的切线，
∴CA²=CB•CF，DA²=DB•DE．
∴CA²：DA²=（CB：DB）•（CF：DE）=CB：DB．

（3）解：根据切割线定理可得：
∵CA²=CB•CF=CB•（CB+BF）=CB²+CB•BF，
∴45=CB2+4CB．
∴BC=4．
∴CF=BC+BF=9．
∴DE=CF=9．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理等知识点．本题中证得CF=DE是解题的关键．