Question

【题目】如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．

（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；
（2）求点P到直线CD距离的最大值；

（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△AMN为等边三角形，；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）△AMN是等边三角形，AM⊥BC时面积最小．只要证明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解决问题．
（2）如图2中，当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的长，再证明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．

解：（1）△AMN为等边三角形；

如图1中，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形
在△AMB和△ANC中，
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，面积最小，
此时AM=MN=AN=
（2）如图2中，

当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
理由：由（1）可知△AMN是等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，此时PA长最小，PC的长最大，点P到直线CD距离的最大，
∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，
∴PC=MC=1，
在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，
∴EC=PC=，
∴PE=．
∴点P到直线CD距离的最大值为；
（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，由于对称，PF=KF，EF为垂线段（垂线段最短）．

连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．
在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，
∴BH=，HM=，
∴，
∵△AMN是等边三角形，
∴AG=．
∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，
∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，
∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，
∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，
∴∠APG=∠EAK，
∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，
∴△AGP≌△KEA，
∴KE=AG=．
∴EF+PF的最小值为，
∵∠PCN=∠PCM，
∴，
∴PN=，
∴AE=PG=GN-PN=，
∵在Rt△AFE中，∠AFE=30°，∴AF=2AE，
∴AF=．