Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．

（1）求∠D的度数；

（2）若点E为CD的中点，求EF的值；

（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC＝120°；（2）EF＝，（3）有最大值，最大值为：

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CB，进而即可得到答案；

（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，由在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，得A＝，DH＝，结合勾股定理得AE＝，易证△AEH∽△CEF，得，进而即可求解；

（3）作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．易得PA的值最大时，的值最大，PA的值最大＝AN的长，根据勾股定理和三角函数的定义得DN＝，从而得AN＝AD+DN＝，进而即可得到答案．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CB，

∴∠ADC+∠DAB＝180°，

∵∠DAB＝60°，

∴∠ADC＝120°．

（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，如图1，

∵在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，

∴AH＝ADsin60°＝，DH＝ADcos60°＝，

∵DE＝EC＝，

∴EH＝DH+DE＝2，

∴AE＝，

∵CF⊥AF，

∴∠F＝∠H＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴△AEH∽△CEF，

∴，

∴，

∴EF＝．

（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．

∵DE∥PF，

∴，

∵AD是定值，

∴PA的值最大时，的值最大，

观察图形可知，当点F与点M重合时，PA的值最大，最大值＝AN的长，

由（2）可知，AH＝，CH＝，∠H＝90°，

∴AC＝，

∴OM＝AC＝，

∵OK∥AH，AO＝OC，

∴KH＝KC，

∴OK＝＝，

∴MK＝NQ＝﹣，

在Rt△NDQ中，DN＝，

∴AN＝AD+DN＝，

∴的最大值＝＝．