Question

把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块正方形，那么，对折的此数n共有多少种不同的数值？

Answer 1

分析：首先从特殊得折叠次数1，2，3，开始得出对一般的n，得到的正方形个数为；a-2×（2ⁿ-1），另a-2×（2ⁿ-1）=1282，进而利用若2ⁿ|a，则符合条件分析得出即可．

解答：解：设长方形的长为a，
若n=1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（

a

2

-1）×2=a-2=1282，
解得：a=1284，2|1284，符合条件；
若n=2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（

a

4

-1）×2+（

a

4

-2）×（4-2）=a-6=1282，
解得：a=1288，4|1288，符合条件；
若n=3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（

a

8

-1）×2+（

a

8

-2）×（8-2）=a-2×（8-1）=1282，
解得：a=1296，8|1296，符合条件；
对一般的n，得到的正方形个数为；a-2×（2ⁿ-1），另a-2×（2ⁿ-1）=1282，
解得：a=2×（2ⁿ-1）+1282=2×2ⁿ+1280，
若2ⁿ|a，则符合条件，显然，
当2ⁿ|1280时符合条件，1280=2⁸×5，
∴n可取1到8，对折的次数n共有8种不同的可能数值．

点评：此题主要考查了计数方法，从特殊到一般利用得出n的最大值是解题关键．