Question

△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=

135°

．
（2）若∠A=76°，则∠BOC=

128°

．
（3）若∠BOC=120°，则∠A=

60°

．
（4）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？

Answer 1

分析：（1）首先根据角平分线的定义，即可求得：∠OCB=

1

2

∠ACB=25°，∠OBC=

1

2

∠ABC=20°，然后利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），据此即可求解；
（3）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC），据此即可求解；
（4）根据三角形的内角和定理可以得到：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-∠A）．

解答：解：（1）∵CO、BO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB=25°，∠OBC=

1

2

∠ABC=20°．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（20°+25°）=135°；

（2）∵CO、BO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），
又∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A=104°．
∴∠BOC=180°-

1

2

×104°=128°；

（3）∵∠BOC=120°，
∴∠OCB+∠OBC=60°，
∵∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC．
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）=120°；
∴∠A=60°；

（4）∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定理正确理解：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）是关键．