Question

已知抛物线的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，－1）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

（1）（2）(5, )（3）当t=5时，有最大值，最大值是

解：（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），∴设抛物线的解析式为。
由抛物线过B(0,－1) 得，∴。
∴抛物线的解析式为，即。
（2）设C的坐标为(x，y)，
∵A在以BC为直径的圆上，∴∠BAC=90⁰。
过点C作CD⊥x轴于D，连接AB、AC，

∵∠BAO＋∠DAC=90⁰, ∠DAC＋∠DCA=90⁰，
∴∠BAO =∠DCA。
∴△AOB∽△CDA。∴。∴OB·CD=OA·AD，即1·。∴。
∵点C在第四象限，∴。
由解得：。
∵点C在对称轴右侧的抛物线上，∴点C的坐标为 (10,－16)。
∵P为圆心，∴P为BC中点。
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线。
∴PH=(OB+CD)=。
∵D(10，0)，∴H(5，0)。∴点P坐标为(5, )。  
（3）设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M，
∵，
∴。
设直线BC的解析式为，

∵直线BC经过B(0,－1)、C (10,－16)，
∴，解得：。
∴直线BC的解析式为。
∴点M的坐标为.。
∴MN=，
∴。
∴当t=5时，有最大值，最大值是。
（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解。
（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知∠BAC=90⁰.过点C作CD⊥x轴于点D，连接AB，AC，易证△AOB∽△CDA，根据对应线段成比例得出x，y的关系式，再根据点C在抛物线上，联立两个关系式组成方程组，求出x，y的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线，可得OH=OD=5，PH=(OB+CD)= ，从而求出点P的坐标。
（3）根据得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标，从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。