Question

如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当PC=______时，CQ与⊙O相切；此时CQ=______．
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．

Answer 1

解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为：
∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，
∴CQ为圆O的切线，
此时PC=5；
∵∠CAB=∠CPQ，
∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，
∴tan∠CPQ===，
则CQ=；
故答案为：5；；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=5，tan∠CAB=，
∴BC=4，AC=3，
又∵S_△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，即3×4=5CD，
∴CD=，
∴PC=2CD=，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，
∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，
∴CQ=×=；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，

∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，
∴CE=BE=2，
又∠CPB=∠CAB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB==，
∴PE==BE=，
∴PC=CE+PE=2+=，
由（2）得，CQ=PC=．
分析：（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．