Question

如图(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角钱AC与BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC＝．

求证：AC＝MN

Answer 1

答案：
解析：

解析：分析1：将AC平移至DE的位置，将梯形中的问题转化为△BDE中的问题 　　证法1：如图(2)，过D点作DE∥AC交BC的延长线于E．∴AC⊥BD于O，∴∠BDE＝∠BOC＝又∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形． 　　∴CE＝AD，DE＝AC　① 　　在Rt△BDE中，∵∠DBE＝， 　　∴DE＝BE＝(BC＋CE) 　　　　＝(BC＋AD) 　　∵MN是梯形ABCD的中位线， 　　∴MN＝(BC＋AD)　② 　　由①、②得：MN＝AC 　　分析2：欲证AC＝(AD＋BC)．只须证OA＝AD，OC＝BC，这可从AC⊥BD，∠DBC＝∠ODA＝出发得证． 　　证法2：∵AC与BD垂直相交于O， 　　∴△BOC与△AOD都是直角三角形 　　在Rt△BOC中，∵∠OBC＝， 　　∴OC＝BC．又∵AD∥BC， 　　∴∠ADO＝∠OBC＝ 　　故同理有AO＝AD 　　∴AC＝AO＋OC＝(AD＋BC) 　　∵MN是梯形ABCD的中位线， 　　∴MN＝(AD＋BC)．故AC＝MN．