Question

3．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C坐标代入抛物线解析式求出m的值即可；
（2）①对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标；令x=0，求出y的值，确定出C坐标，求出三角形ABC面积即可；
②如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．

解答 解：（1）∵抛物线过G（2，2），
∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=-$\frac{1}{m}$（2+2）（2-m），
解得：m=4；

（2）①令y=0，得到-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）=0，
解得：x₁=-2，x₂=m，
∵m＞0，
∴A（-2，0），B（m，0），
把m=4代入得：B（4，0），
∴AB=6，
令x=0，得到y=2，即C（0，2），
∴OC=2，
则S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
②∵A（-2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）的对称轴为x=1，
如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=1，得到y=$\frac{3}{2}$，即H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，
分两种情况考虑：
（i）当△ACB∽△ABM时，则有$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AM}$，即AB²=AC•AM，
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
设M（x，-x-2）（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：-x-2=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，-2m-2），
∴AM=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（-2m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$（m+1），
∵AB²=AC•AM，AC=2$\sqrt{2}$，AB=m+2，
∴（m+2）²=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$（m+1），
解得：m=2±2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2+2$\sqrt{2}$；
（ii）当△ACB∽△MBA时，则$\frac{AB}{MA}$=$\frac{CB}{BA}$，即AB²=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴$\frac{NM}{AN}$=$\frac{OC}{BO}$，
∵OB=m，设ON=x，
∴$\frac{NM}{2+x}$=$\frac{2}{m}$，即MN=$\frac{2}{m}$（x+2），
令M（x，-$\frac{2}{m}$（x+2））（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：-$\frac{2}{m}$（x+2）=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，-$\frac{2}{m}$（m+4）），
∵AB²=CB•MA，CB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，AN=m+4，MN=$\frac{2}{m}$（m+4），
∴（m+2）2=$\sqrt{{m}^{2}+4}$•$\sqrt{（m+4）^{2}+\frac{4（m+4）^{2}}{{m}^{2}}}$，
整理得：$\frac{16}{m}$=0，显然不成立，
综上，在第四象限内，当m=2$\sqrt{2}$+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．