Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．

（1）求证：△DAE∽△DCF．

（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．

（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为　 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．

【解析】

（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；

（2）运用相似三角形的性质解答即可；

（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.

（1）证明∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，

∴∠ADE+∠EDC＝90°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDC+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，

∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，

∴ ，

∴

∴y＝x+4；

（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，

∴DE＝BE，

∵AD2+AE2＝DE2，

∴16+AE2＝（6﹣AE）2，

∴AE＝，

∴DE＝BE＝，

∴cos∠AED＝ ＝，

故答案为：．