Question

【题目】如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F= ，CD=a，请用a表示⊙O的半径；
（3）求证：GF2﹣GB2=DFGF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC=90°，

又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，

∴∠FBG+∠OBA=90°，

即∠OBF=90°，

∴OB⊥FB，

∵AB是⊙O的弦，

∴点B在⊙O上，

∴BF是⊙O的切线

（2）解：∵AC∥BF，

∴∠ACF=∠F，

∵CD=a，OA⊥CD，

∴CE= CD= a，

∵tanF= ，

∴tan∠ACF= = ，

即 = ，

解得AE= a，

连接OC，设圆的半径为r，则OE=r﹣ a，

在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，

即（ a）2+（r﹣ a）2=r2，

解得r= a；

（3）证明：连接BD，

∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），

∴∠DBG=∠F，

又∵∠FGB=∠BGF，

∴△BDG∽△FBG，

∴ = ，

即GB2=DGGF，

∴GF2﹣GB2=GF2﹣DGGF=GF（GF﹣DG）=GFDF，

即GF2﹣GB2=DFGF．

【解析】（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE= CD= a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r；（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2 ， 然后代入等式左边整理即可得证．