Question

17、求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．

Answer 1

分析：根据 1×3×5×…×1999，分解为四个奇数相乘，根据四个连续奇数的乘积除以8的余数是1，得出A=125×（8k+5）=1000k+625，从而解决问题．

解答：解：．
原式=A=1×3×5×…×1999，
则A=（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×125×127×129）•…（1993×1995×1997×1999），
则A=125×[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]，
下面证明两个引理：
引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一
证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7．
则k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明：设B=（2n+1） （2n+3） （2n+5） （2n+7）
=（4n^2+8n+3） （4n^2+24n+35）
当n=2m时，B≡1 mod（8）
当n=2m+1时，B≡1 mod（8）
综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]
≡1•1•…•（123×127×129）•…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数．
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．

点评：此题主要考查了同余问题中连续奇数相乘尾数的确定方法，得出四个连续奇数的乘积除以8的余数是1是解决问题的关键．