Question

已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连结BM。

（1）如图1，点D在AB上，连结DM,并延长DM交BC于点N，请探究得出BD与BM的数量关系为_______。

 

图1

 

（2）如图2，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

Answer 1

（1）    -------2分

 (2) 结论成立。 证明：过点C作CF∥ED，

与DM的延长线交于点F，证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，                         
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，  ∴∠2=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠2=∠BAD，∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠5=∠6， ∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形， ∵点M是DF的中点，
  则△BMD是等腰直角三角形，∴BD=BM．