Question

已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R．
（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，求证：QE=EF；
（2）当点P在BC上运动时，求证：PQ+PR为定值．

Answer 1

分析：（1）根据平行线QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根据相似三角形的对应边成比例可求得

QE

BD

=

AE

AD

=

EF

DC

；再根据已知条件“AD为BC边中线”来证明QE=EF；
（2）分类讨论：
①当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，PQ+PR=2AD；
②当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，PQ+PR=2AD；
③当点P在CD上（不与点C重合）运动时，PQ+PR=2AD．

解答：（1）证明：∵QF∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．（1分）
∴

QE

BD

=

AE

AD

=

EF

DC

，
∵BD=DC，
∴QE=EF．（3分）

（2）解：当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，
∴PQ+PR=2AD．
当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，
∴RQ=2AE．
∵QF∥BC，PQ∥AD，
∴四边形PQED为平行四边形．
∴PQ=DE，
∴PQ+PR=2DE+QR=2DE+2AE=2AD．（5分）
同理可证，当点P在CD上（不与点C重合）运动时，
PQ+PR=2AD．
∴P在BC上运动时，PQ+PR为定值，
即PQ+PR=2AD．（7分）

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质．要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．