Question

（2007•南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性质知，∠A=∠D，利用等量代换求得∠ABE=∠DEF，有△ABE∽△DEF，可得．从而得到y与x的函数表达式；
（2）通过配方，把得到的函数表达式写成二次函数的顶点式，求得最值．
解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D=120°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°．
∵∠BEF=120°，∴∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠ABE=∠DEF．∴△ABE∽△DEF．
∴．
∵AE=x，DF=y，∴．
∴y与x的函数表达式是y=•x（6-x）=-x²+x；

（2）y=-x²+x=-（x-3）²+．
∴当x=3时，y有最大值，最大值为．
点评：本题利用了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，及二次函数的性质求解．