Question

如图1所示，在等腰Rt△ABC中，点M是斜边AB中点，D是AB边上一动点，ED⊥CD于点D，EF⊥AB交AB于点F，且CD=ED．
（1）求证：AC=

2

DF；
（2）如图2所示，若ED⊥CD于点D，且ED=CD，点E在AC的左侧，其它条件不变，连接AE，求证：AE∥BC；
（3）在（2）中，若AD=

3

，则BC-AE=

6

．（直接写出结果即可，不书写解答过程）

Answer 1

分析：（1）连接CM，求出△DCM≌△EDF，推出DF=CM，根据勾股定理求出即可．
（2）过E作EF⊥AB交BA延长线于F，根据△DCM≌△EDF，推出EF=DM，DF=CM，CM=AM，求出DF=AM，求出AF=EF，求出∠FAE=∠B即可．
（3）过E作EN∥AB交BC于N，交CM于Q，求出BC-AE=CN，求出四边形AENB是平行四边形，四边形FEQM是矩形，求出AD=CQ=

3

，求出CQ=QN=

3

，在Rt△CQN中，由勾股定理求出CN即可．

解答：（1）证明：
连接CM，
∵△ACB是等腰直角三角形，M为AB中点，
∴AM=CM=BM，CM⊥AB，
∵EF⊥AB，CD⊥DE，
∴∠CMD=∠DFE=∠CDE=90°，
∴∠CDM+∠EDF=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠DCM=∠EDF，
在△DCM和△EDF中

∠CMD=∠DFE ∠DCM=∠EDF CD=DE

∴△DCM≌△EDF（AAS），
∴DF=CM，
∵△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CMA=90°，AM=CM，由勾股定理得：AC=

2

CM，
∴AC=

2

DF．

（2）
证明：过E作EF⊥AB交BA延长线于F，
∵由（1）知：△DCM≌△EDF，
∴EF=DM，DF=CM，CM=AM，
∴DF=AM，
∴DF-AD=AM-AD，
∴AF=DM，
∴AF=EF，
∵∠F=90°，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵∠B=45°，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BC．

（3）解：BC-AE=

6

，
理由是：过E作EN∥AB交BC于N，交CM于Q，如图3，
∵AE∥BC，
∴四边形AENB是平行四边形，
∴AE=BN，
∴BC-AE=CN，
∵EF⊥AB，CM⊥AB，
∴CM∥EF，∠QMF=90°，
∵EQ∥AB，
∴四边形FEQM是矩形，
∴∠EQM=∠CQM=90°，EF=QM，
∵DM=EF，
∴QM=DM，
∵AM=CM，
∴AD=CQ=

3

，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M为AB中点，
∴∠MCB=45°，
∴∠QNC=45°=∠QCN，
∴CQ=QN=

3

，
在Rt△CQN中，由勾股定理得：CN=

( 3 )2+( 3 )2

=

6

，
即BC-AE=

6

，
故答案为：

6

．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．有一定的难度．