如图①.P为△ABC内一点.联结PA.PB.PC.在△PAB.△PBC和△PAC中.如果存在一个三角形与△ABC相似.那么就称P为△ABC的自相似点． (1)如图②.已知Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC＞∠A.CD是AB上的中线.过点B作BE⊥CD.垂足为E.请证明E是△ABC的自相似点． (2)如图③.在△ABC中.∠A＜∠B＜∠C．若△ABC的内心P是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，P为△ABC内一点，联结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，请证明E是△ABC的自相似点．

（2）如图③，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，

则∠A：∠B：∠C= ．

（1）证明：在Rt △ABC中，

∵∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，

∴

∴∠BCE＝∠ABC

∵BE⊥CD

∴∠BEC＝90°

∴∠BEC＝∠ACB

∴△BCE∽△ABC

∴E是△ABC的自相似点．

（2）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4

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（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．