Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE=AB，
∴OA=OC=OE=DE，
则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，
又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°，
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠CDB=36°．

（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE=DE，∠CDB=36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB=108°，
∴∠COD=72°；
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD．
∴OD=CD，
∴△COD是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD=2，
∴OC=-1，
∵CD=OD=2，DE=OC=-1，
∴CE=CD-DE=2-（-1）=3-；

③存在，有三个符合条件的点P₁、P₂、P₃，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P₁、P₂；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P₃与点A重合．
分析：（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
点评：此题的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．