Question

如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B两点（A在B左侧），B点坐标为（6，0），过点B的直线与抛物线交于点C（3，）．
（1）写出点A坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在抛物线的BC段上，是否存在一点P，使得四边形ABPC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值，△MNB为等腰三角形，写出计算过程．

Answer 1

解：（1）∵B点坐标为（6，0），抛物线对称轴为直线x=4，
4×2-6=2，
∴点A的坐标为（2，0）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x²+6x-9；

（3）存在．理由如下：
如图，设存在点P（x，-x²+6x-9），使得四边形ABPC的面积最大，
过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，），
∴S_{四边形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF
=×（3-2）×+（-x²+6x-9）×（x-3）+×（6-x）×（-x²+6x-9）
=+（x-3）+（-x²+6x-9）×（x-3）+×（6-x）×（-x²+6x-9）
=-（x²-9x+14）
=-（x-）²+，
∵3＜＜6，
∴当x=时，四边形ABPC的面积有最大值，最大值为，
此时，-x²+6x-9=-×（）²+6×-9=，
∴点P的坐标为（，）；

（4）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4，
∵B（6，0），C（3，），
∴BC==．
①BN=MN时，如图，过点N作ND⊥BM于点D，则BD=MD=（4-t），
cos∠ABC==，
解得t=，
②BN=BM时，如图，BM=4-t，BN=2t，
所以，4-t=2t，
解得t=，
③BM=MN时，如图，过点M作MH⊥BN于点H，
则BH=BN=×2t=t，
BM=4-t，
cos∠ABC==，
解得t=，
综上所述，当t为或或秒时，△MNB为等腰三角形．
分析：（1）根据二次函数的对称性，利用点B的坐标与对称轴求解；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式列式计算即可得解；
（3）假设存在，根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-x²+6x-9），过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，则S_{四边形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF，再根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）根据A、B的坐标求出AB的长度，根据勾股定理求出BC的值，再分①BN=MN时，过点N作ND⊥BM于点D，然后利用∠ABC的余弦列式计算即可得解，②BN=BM时，用t表示出BM、BN，列出方程计算即可得解，③BM=MN时，过点M作MH⊥BN于点H，然后利用∠ABC的余弦列式计算即可得解．
点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，不规则图形的面积的求解，二次函数的最值问题，以及等腰三角形的性质，（3）运算量比较大，计算时要认真仔细，（4）要根据等腰三角形腰的不同分情况讨论．