Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点，取EF中点G，连接DG并延长交AB于点M，延长EF交AC于点N。

（1）求证：∠FAB和∠B互余；

（2）若N为AC的中点，DE=2BE，MB=3，求AM的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AM=7

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，根据直角三角形两锐角互余可证得结论；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE即可得∠GDE=∠GED，证明△DBM∽△ECN，根据相似三角形的性质即可求得NC，继而可求AM.

解：（1） ∵AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，

∴AD⊥BC，

∴∠FAB+∠B=90°.

（2）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，
∵DE=2BE，
∴BD=CD=3BE，
∴CE=CD+DE=5BE，
∵∠EDF=90°，点G是EF的中点，
∴DG=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，

∴△DBM∽△ECN，

∵MB=3，
∴NC=5，
∵N为AC的中点，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10,

∴AM=AB-MB=7.