Question

（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y=x²+bx+c过点B，C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
（3）本题要靠辅助线的帮助．作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（-1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．
解答：解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3．
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3=0．
解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．（1分）
∵抛物线y=x²+bx+c过点B，C，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（2分）

（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3．
如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=，CE=2．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，．
解得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．（5分）

（3）解法一：
如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（-1，0）．
连接A'C，A'D，
可得A'C=AC=，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A'D²=10．
又∵A'C²=10，
∴A'D²+A'C²=CD²．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（7分）
解法二：
如图3，连接BD．
同解法一可得CD=，AC=．
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，
∴DB=．
在△CBD和△COA中，，，．
∴．
∴△CBD∽△COA．
∴∠BCD=∠OCA．
∵∠OCB=45°，
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（9分）
点评：本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3问之间层层递进，后两问集中研究角度问题．
中等层次的学生能够做出第（1）问，中上层次的学生可能会作出第（2）问，但第（2）问中符合条件的P点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第（3）问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题．
本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理．