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    （1）观察发现

    如题（a）图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

    做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

    再如题（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

    做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为     ．  

       

    （2）实践运用

    如题（c）图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

    （3）拓展延伸

    如题（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

     

    【答案】

    （1）；（2）；（3）如图所示：

    【解析】

    试题分析：（1）根据等边三角形的性质及勾股定理求解即可；

    （2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，先根据轴对称性证得△OBE为等边三角形，即可证得△OAE为等腰直角三角形，从而求得结果；

    （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可.

    （1）BP+PE的最小值；

    （2）作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，

    因为AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，

    所以∠AEB=15°，

    因为B关于CD的对称点E，

    所以∠BOE=60°，

    所以△OBE为等边三角形，

    所以∠OEB=60°，

    所以∠OEA=45°，

    又因为OA=OE，

    所以△OAE为等腰直角三角形，

    所以；

    （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，如图所示：

    考点：轴对称-最短路线问题

    点评：解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．

     

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    1.观察发现

        如题27(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

      再如题27(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

    如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这

    点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为        ．

    2.实践运用

    如题27(c)图，已知⊙O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60°，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

    3.拓展延伸

    如题27(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留

    作图痕迹，不必写出作法．

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察发现

        如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

        做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

        再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

        做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这

      点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为        ．  

             

    题26(a)图                    题26(b)图               

    (2)实践运用

        如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

          

    题26(c)图                       题26(d)图

     (3)拓展延伸

        如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留

    作图痕迹，不必写出作法．

     

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    如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
    做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P
    再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
    做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这
    点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为       ．  
             
    题26(a)图                    题26(b)图               
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    科目：初中数学 来源：2012届江西省南昌市九年级下学期4月考数学卷（带解析） 题型：解答题

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    如题(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留
    作图痕迹，不必写出作法． 

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年江西省南昌市九年级下学期第二次联考数学试卷（解析版） 题型：解答题

     

    1.观察发现

        如题27(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P

       再如题27(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

    如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这

    点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为        ．

    2.实践运用

    如题27(c)图，已知⊙O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60°，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

    3.拓展延伸

    如题27(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留

    作图痕迹，不必写出作法．

     

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