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    已知如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点(点P可以与A重合，但不与B重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP＝x，AQ＝y．

    (1)写出y与x之间的函数关系式；

    (2)当点P与点Q重合时，探究BP的长度是多少？

    (3)当线段PE，FQ相交时，探究线段PE，EF，FQ所围成三角形的形状，并直接写出周长的取值范围．

    答案：
    解析：

    　　(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝，AB＝BC＝CA＝2．

    　　在△BEP中，∵PE⊥BE，∠B＝，∴∠BPE＝．

    　　而BP＝x，∴BE＝x，∴EC＝2－x．

    　　在△CFE中，∵∠C＝，EF⊥CF，

    　　∴∠FEC＝，∴FC＝1－x．

    　　同理，在△FAQ中可得AQ＝＋x．

    　　而AQ＝y，∴y＝＋x(0＜x≤2)．

    　　(2)当点P与点Q重合时，有AQ＋BP＝AB＝2，∴x＋y＝2．

    　　∴

    　　解得x＝．

    　　∴当BP的长为时，点P与点Q重合．

    　　(3)探究：△EFG为等边三角形．如下图．

    　　∵△ABC为等边三角形．PE⊥BC，EF⊥AC．

    　　∴∠B＝∠C＝，∠CEF＝，∴∠GEF＝．

    　　同理∠EFG＝，∴△EFG为等边三角形．

    　　当P，Q重合时，△EFG周长最大；当P与A重合时，△EFG的周长最小．

    　　设三角形EFG的周长为c，得

    　　≤c≤．

    　　剖析：(1)利用等边三角形的性质，直角三角形的性质，建立x与y的等式；(2)利用(1)的结论求解；(3)先探究所围成三角形的形状，再根据探究的三角形的性质，直接写出周长变化范围．


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    如图所示，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知S1=1，S2=2，S3=3，S4=4，另外三个正方形的边长分别为a，b，c．
    （1）图中Rt△ABC与
     
    全等，所以DE=
     
    ，a=
    		AC2+BC2
    =
     
    ．
    （2）用上述（1）中思路求b、c的值．（提示：△ABC与△BDE的斜边相等，并且有一个角是直角，只需设一个锐角相等即可）
     
    ．
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    精英家教网用三个全等的直角三角形△AEF、△BDF和△CDE拼成如图所示的大的正三角形，已知大的正三角形的边长是3，则下列叙述中正确的是
     
    ．
    ①∠A=60°；②△DEF是等边三角形；③△DEF的边长为2；④△DEF的面积为
    3
    4
    		3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•乐山）如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
    （1）求抛物线C的解析式；
    （2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
    ①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
    ②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E1，F1，再分别以线段EE1，FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2，等边△FF1F2．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）求证：AN=BM；
    （2）设AN、BM相交于点D，求证：∠ADB=120°；
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