Question

如图，直线AB经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，AB=4，半径OC的延长线与过点B的直线交于点D，OC=CD，BC=OD．点Q为⊙O上一动点．
（1）若∠BCQ=45°，求弦CQ的长．
（2）在点Q运动的过程中，CQ的与直线AB相交于点P，问PO为何值时，△BCQ是等腰三角形；
（3）当Q点运动时，是否存在点P，使得QP=QO？若存在，满足条件的点有几个？并求出相应的∠BCP；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，过B作BH⊥CQ，Q为垂足，
∵OC=CD，BC=OD．
∴△OCB为等边三角形，BC=2，
∴∠COB=60°，
∴∠CQP=30°，
在Rt△BCH中，∠QCB=45°，
∴CH=BH=2×=，
在Rt△BQH中，HQ=BH=，
∴；

（2）当BC为腰时，如图，
∴OB垂直平分CQ，
∴PO=1（P点在点O右边）；
当BC为底时（如图），
过Q作BC的垂线必过圆心O，过C作CM⊥OB，M为垂足，
∵∠CQB=∠COB=30°，
∴∠QCB=75°，
∴∠PCM=75°-30°=45°，
∴△CPM为等腰直角三角形，
∴；

（3）当P在OB之间时，∠BCP=40°；
当P在O点左边时（如图），∠BCP=100度．
当P点在B点右侧，如图，∵OQ=PQ，
∴∠QOP=∠P，
∴∠CQO=2∠P，
∴∠OCP=2∠P，
∴∠P=40°，
∴∠BCP=20°．


分析：（1）过B作BH⊥CQ，Q为垂足，由OC=CD，BC=OD，得到△OCB为等边三角形，BC=2，则∠CQP=30°，分别在Rt△BCH，Rt△BQH中
计算出CH=BH=2×=，HQ=BH=即可．
（2）分类讨论：当BC为腰时，OB垂直平分CQ，得到PO=1；当BC为底时，过Q作BC的垂线必过圆心O，过C作CM⊥OB，M为垂足，
证△CPM为等腰直角三角形，然后；
（3）分类讨论：当P在OB之间时，∠BCP=40°；当P在O点左边时（如图），∠BCP=100度．当P点在B点右侧，如图，∠BCP=20°．
点评：本题考查了圆周角定理；也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形三边关系以及分类讨论思想的运用．