Question

（1）如图（1），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的内部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系，并写出证明过程．
（2）如图（2），把三角形纸片ABC的角A沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠A的外部，点A的对称点为点O，判断∠O、∠ODC、∠BEO的大小关系吗？（只写出答案，无需证明）．
（3）在图（1）的基础上再以FG为折痕叠纸片，形成如图（3）的形状．判断∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7的之间大小关系吗？（只写出答案，无需证明）．

Answer 1

分析：（1）根据图1中∠A与∠O是相等的，再结合四边形的内角和定理及互补角的性质可得结论2∠O=∠ODC+∠BEO；
（2）根据图2中由于折叠∠A与∠O是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠O=∠ODC-∠BEO；
（3）如图3，由（1）的结论及折叠的性质可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3，再将这三个式子相加即可得出∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．

解答：解：（1）2∠O=∠ODC+∠BEO．理由如下：
如图1，∵把三角形纸片ABC的角A沿DE折起，点A的对称点为点O，
∴∠A=∠O，∠ADE=∠ODE，∠AED=∠OED．
∵∠O+∠ODE+∠OED=180°，
∠ODC+∠ODE+∠EDA=180°，
∠BEO+∠DEO+∠AED=180°，
∴2∠O=360°-2∠0DE-2∠OED，
∠ODC=180°-2∠ODE，
∠BEO=180°-2∠OED，
∴2∠O=∠ODC+∠BEO；

（2）2∠O=∠ODC-∠BEO．理由如下：
如图2，设DO交AB于点F，
∵∠ODC=∠A+∠DFA，∠DFA=∠O+∠BEO，
∴∠ODC=∠A+∠O+∠BEO，
∴∠ODC-∠BEO=∠A+∠O，
∵△ODE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠O，
∴2∠O=∠ODC-∠BEO；

（3）∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6或∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．理由如下：
如图3，由（1）的结论及折叠的性质可知，2∠4=∠2+∠6，2∠6=∠5+∠7，2∠2=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠5+∠7+∠2+∠6=2∠2+2∠6+2∠4，
∴∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+2∠4+∠6，
∵2∠4=∠2+∠6，
∴∠1+∠3+∠5+∠7=4∠4．

点评：此题主要考查的是四边形的内角和定理，三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．