Question

（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．

（1）请写出两条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
（2）  ①；②；③；④；⑤是直角三角形；⑥是等腰三角形． 
（2）

试题分析：（1）根据垂径定理可以进一步证明△CBE≌△DBE，得出BC=BD
根据直径所对的圆周角等于90°，可以得出BC⊥AC,进而得出OF∥BC
根据垂径定理可以得出弧BC和弧BD相等，所以∠BCD=∠A
根据CE⊥BE,根据勾股定理可以得出
根据直径所对的圆周角等于90°，可以得出是直角三角形
根据垂径定理可以进一步证明△CBE≌△DBE，得出BC=BD，即是等腰三角形
（2）连接CO
∠D＝30°，同弧所对圆周角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°
因为AB是直径，所以∠ACB=90°
∴AB=2BC=2
在Rt△AFO中
，根据勾股定理得出，，AC=2AF=
阴影部分面积= S扇形AOC-S△AOC
S△AOC =
因为CO=AO,OF=OF，根据垂径定理，AF=CF
所以△AOF≌△COF,所以∠COF=∠AOF=60°,
所以∠AOC=120°
所以S扇形AOC =
阴影部分面积=
点评：难度较大，主要在掌握圆的综合运用，包括圆周角，垂径定理的运用，勾股定理的运用，主要把握阴影部分面积可以由几种特殊的图形加减变化而来。