Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．
（1）请你写出三类不同的正确的结论；
（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．

Answer 1

解：（1）三类不同的正确结论是：
①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；

（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．
其理由是：
∵BD⊥AC，∴∠CBD+∠ACB=90°，
即α+∠ACB=90°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴β+2∠ACB=180°，
即β+2（90°-α）=180°，
∴β=2α．
分析：（1）利用等腰三角形的性质，可以证明图中有全等的三角形，进而可以得到相当的角和相等的线段．
（2）由于BD是等腰三角形腰上的高，所以α+∠ACB=90°，又等腰三角形中，∠ABC=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以β+2∠ACB=180°，即β+2（90°-α）=180°，所以β=2α．
点评：本题重点考查了等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质求解角与角之间的关系，题目典型，难度中等．