Question

如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G．
（1）求证：AG=GC；
（2）若AG=，AH：AB=1：3，求△CDG的面积与△BOF的面积．

Answer 1

解：（1）证明：连接AD，BC，BD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB，
∴∠DAG=2∠CAB，
∵∠BOF=2∠CAB，
∴∠BOF=∠DAG，
又∵∠OBF=∠ADG，
∴△BOF∽△DAG，
∴=，
∵OB=OC=2OF，
∴=2，
又∵AC=DA，
∴AC=2AG，
∴AG=GC；

（2）解：连接BC，则∠BCA=90°，
又∵CH⊥AB，
∴AC²=AH•AB，
∵AC=2AG=2，AH：AB=1：3，
∴（2）²=AB•AB，
∴AB=6，∴AH=2，
∴CH=2，
∴S_△ACD=CD•AH=×2×4=4，
又∵AG=CG，
∴S_△CDG=S_△DAG=S_△ACD=2，
∵△BOF∽△DAG，
∴=（）²=（）²=，
∴S_△BOF=．
分析：（1）连接AD，BC，BD，根据圆周角定理可求出∠BOF=∠DAG，再根据相似三角形的判定定理求出△BOF∽△DAG，由相似三角形对应边成比例即可得出=，再根据OF=FC、AG=GC即可求解；
（2）连接BC，由圆周角定理可知∠BCA=90°，再根据射影定理AC²=AH•AB，再分别求出△ACD、△CDG的面积，利用相似三角形的判定定理可得出△BOF∽△DAG，再由相似三角形的性质即可求解．
点评：本题考查的是垂径定理、相似三角形的判定与性质、射影定理，涉及面较广，难度较大，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．