Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）判断△ABC形状，并说明理由．

（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；

（3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF=，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）结论：△ABC是直角三角形（2）（3）存在．满足条件的点E的横坐标为或或或

【解析】试题分析：（1）由△AOC∽△COB，推出∠ACO=∠OBC，由∠OBC+∠OCB=90°，推出∠ACO+∠BCO=90°，推出∠ACB=90°，得出结论；

（2）如图1中，设第四象限抛物线上一点N（m， x2﹣x﹣），点N关于x轴的对称点P（m，-x2+x+），作过B、C分别作y轴、x轴的平行线交于点G，连接PG，可得S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG，由此可得△PBC面积最大时的点P的坐标，如图2，作ME⊥CG于点M，由△CEM∽△BOC，根据对应边成比例，得出PM+CM=PM+ME，根据垂线段最短可知，当PE⊥CG时，PM+ME最短，由此即可解决；

（3）分三种情况讨论，①如图3，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以嗲F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，②如图4，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，③如图5，当DH=DF，DQ平分∠HDF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，分别求解即可.

试题解析：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由如下，

对于抛物线 y=x2﹣x﹣，令y=0得 x2﹣x﹣=0，解得x=﹣或3；令x=0得y=﹣，

∴A（﹣，0），C（0，﹣），B（3，0），

∴OA=，OC=，OB=3，

∴==，∵∠AOC=∠BOC，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO=∠OBC，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠ACB=90°．

（也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理证明）．

（2）如图1中，设第四象限抛物线上一点N（m， m2﹣m﹣），点N关于x轴的对称点P（m，﹣m2+m+），作过B、C分别作y轴，x轴的平行线交于点G，连接PG．

∵G（3，﹣），

∴S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××（﹣m2+m+2）+×（3﹣m）﹣××=﹣（m﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴当m=时，△PBC的面积最大，

此时P（，），

如图2中，作ME⊥CG于M．

∵CG∥OB，

∴∠OBC=∠ECM，∵∠BOC=∠CEM，

∴△CEM∽△BOC，

∵OC：OB：BC=1：3：，

∴EM：CE：CM=1：3：，

∴EM=CM，

∴PM+CM=PM+ME，

∴根据垂线段最短可知，当PE⊥CG时，PM+ME最短，

∴PM+MC的最小值为+=．

（3）存在．理由如下，

①如图3中，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴．

作CG⊥HK于G，PH∥x轴，EP⊥PH于P．

∵FH∥CK，K（，﹣），

易知CG：GK：CK=3：4：5，

由△EPH∽△KGC，得PH：PE：EH=3：4：5，设E（（n， n2﹣n﹣），则HE=（n﹣），PE=（n﹣），

∵DH=HF，

∴+[﹣n2+n+﹣（n﹣）]=（n﹣）+，

解得n=或（舍弃）．

②如图4中，当DH=HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴．

同法可得[n2﹣n﹣+（n﹣）]﹣=（n﹣）+，

解得n=+或﹣（舍弃）．

③如图5中，当DH=DF，DQ平分∠HDF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴．

设DQ交HF于M．由△DHM∽△CKG，可知HM：DH=4：5，

[（n﹣）+]：[n2﹣n﹣+（n﹣）﹣]=4：5，

解得n=+或=﹣（舍弃），

④如图6中，当FQ平分∠DFH时，满足条件，此时=．

∴5× [n2﹣n﹣﹣+（n﹣）]=4[（n﹣）+]，

解得：n=或（舍弃）

综上所，满足条件的点E的横坐标为或+或+或．