Question

如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S₁、被直线RQ扫过的图形面积为S₂，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=     ；AC=     ；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）设S₂=mS₁，求m的变化范围．

Answer 1

解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K， ∵CD∥AB， ∴四边形DBKC是平行四边形， ∴BK=CD=，CK=BD， ∴AK=AB+BK=3+=4， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴BD=AC， ∴AC=CK， ∴BK=EK=AK=2=CE， ∵CE是高， ∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°， ∴∠ACK=90°， ∴∠AHB=∠ACK=90°， ∴AC=AK·cos45°=4×=4； 故答案为：90°，4； （2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2． ①当0＜x＜时， ∵MN∥BD， ∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG， ∴=4， ∴S2=4S1≠3S1； ②当≤x≤2时， ∵AB∥CD， ∴△ABH∽△CDH， ∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3， ∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3， ∵CG=4﹣2x，AC⊥BD， ∴S△BCD=×4×1=2， ∵RQ∥BD， ∴△CRQ∽△CDB， ∴S△CRQ=2×（）2=8（2﹣x）2， ∵S梯形ABCD=（AB+CD）·CE =×（3+）×2=8， S△ABD=AB·CE=×3×2=6， ∵MN∥BD， ∴△AMN∽△ADB， ∴， ∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2， ∵S2=3S1， ∴8﹣8（2﹣x）2=3×x2， 解得：x1=＜（舍去），x2=2， ∴x的值为2； （3）由（2）得： 当0＜x＜时，m=4， 当≤x≤2时， ∵S2=mS1， ∴m== =﹣+﹣12 =﹣36（﹣）2+4， ∴m是的二次函数， 当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大， ∴当x=时，m最大，最大值为4， 当x=2时，m最小，最小值为3， ∴m的变化范围为：3≤m≤4．