Question

如图，四边形ABCD中，AB=BC=3厘米，DA=DC=4厘米，∠DAB=∠DCB=90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从C点开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动．
（1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请参照图1说明理由．
（2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边PDQB的面积S_{四边形PDQB}．
（3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E
①当P、Q运动了4秒时，求S_△CDE-S_△BPE的值；
③P、Q运动了多少秒时_△CDE=S_△BPE？

Answer 1

分析：（1）根据SAS证DAP≌△DCQ，推出∠ADP=∠CDQ，即可求出∠PDQ=∠ADC．
（2）求出四边形PDQB的面积=四边形ABCD的面积，求出四边形ABCD的面积即可．
（2）①求出S_△CDE-S_△BPE=S_△DCB-S_△PDB，再求出△DCB和△PDB的面积，代入求出即可．
②S_△CDE-S_△BPE=S_△DCB-S_△PDB=0，根据三角形面积公式得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∠PDQ的大小不发生变化，
理由是：∵∠A=∠DCB=∠DCQ=90°，由已知得出AP=CQ，
∴在△DAP和△DCQ中

AD=CD ∠A=∠DCQ AP=CQ

∴△DAP≌△DCQ（SAS），
∴∠ADP=∠CDQ，
∴∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=∠ADC，
即∠PDQ的大小不发生变化，等于∠ADC．

（2）∵△ADP≌△DCQ，
∴S_△ADP=S_△DCQ，
∴四边形PDQB的面积是
S_{四边形PDQB}=S_{四边形PDCB}+S_△CDQ
=S_{四边形PDCB}+S_△ADP
=S_{四边形ABCD}
=

1

2

×3×4+

1

2

×3×4
=12．

（3）①如图2，连接BD，
∵P、Q运动了4秒，
∴AP=CQ=4，
∴S_△CDE=S_△DCB-S_△DEB，S_△BPE=S_△PDB-S_△DEB，
∵AB=BC=3，AP=4，DC=4，
∴S_△DCB=

1

2

×3×4=6，S_△PDB=

1

2

×（4-3）×4=2，
∴S_△CDE-S_△BPE=S_△DCB-S_△PDB=6-2=4．
②连接BD，
设P、Q运动了t秒时，S_△CDE=S_△BPE，
则S_△CDE-S_△BPE=S_△DCB-S_△PDB=0，

1

2

×3×4-

1

2

×（t-3）×4=0，
解得t=6，
即P、Q运动了6秒时，S_△CDE=S_△BPE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．