Question

（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y₁（元）与国内销售量x（千件）的关系为：
y₁=

15x+90(0＜x≤2) -5x+130(2＜x＜6)

若在国外销售，平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为
y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

（1）用x的代数式表示t为：t=

6-x

；当0＜x≤4时，y₂与x的函数关系为：y₂=

5x+80

；当

4

＜x＜

6

时，y₂=100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；
根据平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

及t=6-x即可求出y₂与x的函数关系：当0＜x≤4时，y₂=5x+80；当4≤x＜6时，y₂=100；
（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

解答：解：（1）由题意，得x+t=6，
∴t=6-x；
∵y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

，
∴当0＜x≤4时，2≤6-x＜6，即2≤t＜6，
此时y₂与x的函数关系为：y₂=-5（6-x）+110=5x+80；
当4≤x＜6时，0＜6-x≤2，即0＜t≤2，
此时y₂=100．
故答案为：6-x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x²+40x+480；
②当2＜x≤4时，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x²+80x+480；
③当4＜x＜6时，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x²+30x+600；
综上可知，w=

10x2+40x+480(0＜x≤2) -10x2+80x+480(2＜x≤4) -5x2+30x+600(4＜x＜6)

；

（3）当0＜x≤2时，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，此时x=2时，w_最大=600；
当2＜x≤4时，w=-10x²+80x+480=-10（x-4）²+640，此时x=4时，w_最大=640；
当4＜x＜6时，w=-5x²+30x+600=-5（x-3）²+645，4＜x＜6时，w＜640；
∴x=4时，w_最大=640．
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．