Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，4），动点C在以半径为2的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D，连接AB．

（1）若点C在第二象限的⊙O上运动，当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　；

（2）若点C在整个⊙O上运动，当点C运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；

（3）若点C在第一、二象限的⊙O上运动，连接AD，当OC∥AD时，

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）4+8；（3）①点C在第一象限时，C（，1）；②直线BC是⊙O的切线.

【解析】

(1) 根据题意可得△OAB为等腰直角三角形,所以∠ABO=∠BAO=

(2)由三角形面积公式可得当点C运动到第三象限的角平分线与⊙ 0的交点位置时,点C与AB的距离为最大值, 即△ABC的面积最大,由勾股定理可得AB的长,根据直角三角形中线定理可得OE=5AB, 再由三角形面积公式计算即可．

(3)1由平行线的性质和相似三角形的判定可得△C'OF~△ODA,由相似三角形的性质可得,再由勾股定理可得OF的长，即可求得点C'的坐标．

2(2)根据题意由SAS证明△BOC≌△AOD，∠BCO=∠ADO=90°，得直线BC是⊙O的切线.

解：（1）∵点A（4，0），点B（0，4），

∴OA=OB=4，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴∠BOC=∠OBA=45°，

故答案为45°．

（2）

当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

如图1，过点O作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O

于C'，此时，点C'到AB的距离最大，最大值为C'E的长，

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴AB=OA=4，

∴OE=AB=2，

∴CE=OC'+OE=2+2，

∴△ABC的面积为C'E×AB=4+8，

即：当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与⊙O的交点的位置时，

△ABC的面积最大，最大值为4+8；

（3）①如图2，

当点C为位于第二象限时，

过点C作CF⊥x轴于F，

∵OD⊥OC，OC∥OD，∴

∠ADO=∠COD=90°，

∴∠DOA+∠DAO=90°，

∵∠DOA+∠COF=90°，

∴∠COF=∠DAO，

∴△OCF∽△AOD，

∴，

∴，

∴CF=1，

在Rt△OCF中，根据勾股定理得，OF=，

∴C（﹣，1），

同理：点C在第一象限时，C（，1）；

②直线BC是⊙O的切线，

理由：当点C在第二象限时，

在Rt△OCF中，OC=2，CF=1，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，

∴∠AOD=60°，

在△BOC和△AOD中，，

∴△BOC≌△AOD，

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直线BC为⊙O的切线；

同理：当点C在第一象限时，直线BC为⊙O的切线，

即：当OC∥AD时，直线BC是⊙O的切线．