Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0  ①
（1）试判断方程①的根的情况；
（2）如果a是关于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0②的根，其中x₁，x₂为方程①的两个实数根，求代数式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

×

a2-1

a

的值．

Answer 1

分析：（1）可以根据根的判别式来判断根的情况；
（2）根据方程①的根与系数的关系代入方程②后简化方程，然后可以得到关于a的方程，求出a的值，接着分析代数式，化简后把a的值代入，从而得出代数式的值．

解答：解：（1）∵a=1，b=-2（k+1），c=k²+2k-1，
∴△=b²-4ac=[-2（k+1）]²-4（k²+2k-1）=8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程①中x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k-1
代入方程②中，可得到：y²-2y-1=0，
因a是方程②的根，则a²-2a-1=0，
∴a²-1=2a，把a²-1=2a整体代入所求代数式，
∴(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

×

a2-1

a

=

-2a2

4a2

=-

1

2

∴所求代数式的值为-

1

2

．

点评：总结：（1）根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断．
若△＞0，则有两不相等的实数根；
若△＜0，则无实数根；
若△=0，则有两相等的实数根．
（2）一元二次方程若有实数根，则根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．