Question

如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，
BC=y。

（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t²-30t+m=0的两根，求△COD的面积；
（3）在（2）的条件下，以B为坐标原点，BC为x轴的正半轴， BA为y轴的正半轴，建立坐标系，求直线CD的解析式。

Answer 1

解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形，
∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E，
∴DE=AD，CE=CB，
∵AD=x，CB=y，
∴CF=y-x，CD=x+y，
 在Rt△DCF中，
DC²=DF²+CF²，即（x+y）²=（x-y）²+12²，
∴xy=36，
∴为反比例函数。
（2）由x、y是方程2t²-30t+m=0的两根，可得：
x+y==15，
同理可得：xy=36，
∴x=3，y=12或x=12，y=3，
连结OE，则OE⊥CD，
∴S_△COD=CD·OE=×（AD+BC）·AB =×15××12 =45cm²。
（3）由（2）知AD=3，BC=12或AD=12，BC=3，则D（3，12）或（12，12），
C（12，0）或（3，0），
故可求直线CD的解析式为：
y=-x+16或y=x+4。