Question

如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，连接OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F．已知OA=1，AB=2．
（1）设CF=x，则OF=______；
（2）求BF的长；
（3）设过点B的双曲线为，试问双曲线l上是否存在一点M，使得以OB为一边的△OBM的面积等于1？若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴OC=AB，
∴OF=2-x；

（2）由轴对称的性质可知：∠FBO=∠OBA，
在矩形OABC中，OC∥AB，
则∠FOB=∠OBA，
∴∠FBO=∠OBA，
∴BF=OF=2-x；
在Rt△FCB中，BC=OA=1，
由勾股定理可得：BF²=CF²+BC²
即：（2-x）²=x²+1²，
解得：，
则BF=OF==．

（3）设双曲线l的解析式为：（k≠0），又过点B（1，2）
∴，
∴k=2，
∴，
∵S_△OAB==×1×2=1，
∴S_△COB=S_△A′OB=1．
∴双曲线l上符合条件的点M，应在与OB平行且距离等于点C到OB的距离的直线上，
∵直线OB过点（0，0），（1，2）
∴直线OB的解析式为y=2x，
则过点C与OB平行的直线为：y=2x+2，
点M可能是过点C且与OB平行的直线与双曲线l的交点，
由，
解得：x=，
由轴对称性可知，点M可能是过点A且与OB平行的直线与双曲线l的交点，
由，
解得：x=
综上，符合条件的点M的横坐标是x=或x=．
分析：（1）根据矩形的性质得OC=AB，则OF=2-x；
（2）根据轴对称的性质得：∠FBO=∠OBA；根据平行线的性质，得∠FOB=∠OBA．从而得到等腰三角形．则BF=OF．再根据勾股定理得到方程，进行求解．
（3）首先根据点B的坐标求得双曲线的解析式，再根据△OAB和△OBC的面积是1，结合两条平行线间的距离处处相等，则点M即是两条平行线和双曲线的交点．根据平行线的k值相等，以及点A，C的坐标分别求得两条平行线的解析式，再进一步和双曲线联立解方程组，即可求得点M的坐标．
点评：此题综合运用了轴对称的性质、勾股定理以及求函数图象交点的坐标的方法，对于学生综合分析问题的能力要求比较高．