Question

【题目】如图，菱形中，，，点在上，，过点作，交于，点从点出发以个单位的速度沿着线段向终点运动，同时点从点出发也以个单位的速度沿着线段向终点运动，设运动时间为．

填空：当时，________；

当平分时，直线将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比；

以为圆心，长为半径的是否能与直线相切？如果能，求此时的值；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】；

【解析】

（1）过点P作PM⊥EF，垂足为M，利用锐角三角函数求得PM的长，然后利用勾股定理求得EM的长，再利用勾股定理求得PQ的长即可；

（2）根据题意画出图象，结合图形和已知条件证得△EPQ∽△FMQ，进而求得MC的长，然后求得菱形的周长被分成两部分，并据此求得两部分的比值；

（3）过P作PH⊥AD于H，并利用勾股定理PQ2=(t)2+(4t)2后求得t的值即可．

解：根据题意画出图形，如图所示：

过点作，垂足为，

由题意可知，，则，

∵，

∴，即，

即，则，

根据勾股定理得：，

则，

在直角三角形中，根据勾股定理得：

；

根据题意画出图形，如图所示：

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

则，，

∴，，

设交于点，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，

则，，

则直线分菱形分成的两部分的周长分别为和，

即菱形的周长被分为和，

所以这两部分的比为；过作于，交于点，

则，，，，

∴，

，

由题意可得方程，

解得：．