Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=45°，∠BAC=90°，点A为（ ，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为 ．

Answer 1

【答案】（1， +1），（2 ，﹣1），（2 +1， ﹣1）
【解析】解：∵点A坐标为（ ，0）、点B坐标为（0，1），
∴OA= ，OB=1，
∴AB= =2
∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=AC=2，BC=2 ，
△ABC与△ACP全等分为三种情况：
①如图1，延长BA到P，使AB=AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，

则∠AOB=∠AMP=90°
在△AOB和△AMP中，
∵ ，
∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM=AO= ，MP=OB=1，
故点P的坐标为（2 ，﹣1）；
②如图2，过点C作CP⊥AC，使CP=AB，则△ABC≌△CPA，
故∠PAC=∠ACB=45°，AP=BC=2 ，
过P作PM⊥x轴于M，此时∠PAM=15°，在x轴上取一点N，使∠PNM=30°

∴∠PAM=∠APN=15°，即NA=NP，
设PM=x，则PN=AN=2x，NM= x，
在RT△APM中，∵AP2=AM2+PM2 ，
∴（2 ）2=（2x+ x）2+x2 ， 解得：x= ﹣1，
则AM=OA+2x+ x=2 +1，
故点P的坐标为（2 +1， ﹣1）；
③如图3，

作CP⊥AC，使CP=AB，连接BP，则△ABC≌△CPA，
∵∠BAC=∠PCA=90°，且CP=AB，
∴四边形ABPC是矩形，
∴AB=BP，∠ABP=90°，即∠ABO+∠PBM=90°，
过点P作PM⊥y轴，则∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠ABO=∠BPM，
在△AOB和△BMP中，
∵ ，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM=OA= ，PM=OB=1，
故点P的坐标为（1， +1）；
综上，点P的坐标为（1， +1），（2 ，﹣1），（2 +1， ﹣1）．